Каждую задачу разобрал алгебраически, потом перепроверил подстановкой и численно. Ниже - не «голые ответы», а ход мысли: что мешает функции, почему получается \(0/0\), куда уходит хвост на бесконечности.

области определения пределы модули ε–N definition

Question #1

Algebraically determine the domains

Правило одно и то же: ищем, где выражение «ломается» - деление на ноль или корень из отрицательного. Ответ пишем в интервальной записи.

1. \(d(y)=y+3\)

  • 1Линейная функция: нет дробей и корней.
  • 2Любой \(y\) можно подставить.
Domain\((-\infty,\infty)\)

2. \(g(k)=2k^2+4k-6\)

  • 1Квадратный многочлен. Многочлены определены на всех действительных.
Domain\((-\infty,\infty)\)

3. \(h(n)=\sqrt{2n-8}\)

  • 1Под корнем \(\ge 0\): \(2n-8\ge 0\).
  • 2\(n\ge 4\).
Domain\([4,\infty)\)

4. \(m(t)=\sqrt{9-3t}\)

  • 1\(9-3t\ge 0 \Rightarrow 9\ge 3t \Rightarrow t\le 3\).
Domain\((-\infty,3]\)

5. \(u(x)=\dfrac{x-5}{2x+4}\)

  • 1Знаменатель \(\ne 0\): \(2x+4\ne 0 \Rightarrow x\ne -2\).
Domain\((-\infty,-2)\cup(-2,\infty)\)

6. \(a(r)=\dfrac{1}{r+\dfrac{1}{r-1}}\)

  • 1Внутренняя дробь: \(r-1\ne 0 \Rightarrow r\ne 1\).
  • 2Большой знаменатель: \(r+\dfrac{1}{r-1}\ne 0 \Rightarrow \dfrac{r(r-1)+1}{r-1}\ne 0 \Rightarrow r^2-r+1\ne 0\).
  • 3Дискриминант \(1-4=-3<0\), корней нет. Квадрат на \(\mathbb{R}\) никогда не ноль.
  • 4Упрощение: \(a(r)=\dfrac{r-1}{r^2-r+1}\), дырка только \(r=1\).
Domain\((-\infty,1)\cup(1,\infty)\)

7. \(q(w)=\dfrac{w+4}{w^2+1}\)

  • 1\(w^2+1\ge 1>0\) всегда. Знаменатель не обнуляется.
Domain\((-\infty,\infty)\)

8. \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+3}}\)

  • 1Под корнем \(\ge 0\): \(x+3\ge 0 \Rightarrow x\ge -3\).
  • 2Корень стоит в знаменателе, поэтому \(\sqrt{x+3}\ne 0 \Rightarrow x\ne -3\).
  • 3Итого строго \(x>-3\).
Domain\((-3,\infty)\)

9. \(t(v)=\sqrt{v^2+2v-8}\)

  • 1\(v^2+2v-8\ge 0\).
  • 2Корни: \(v=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+32}}{2}=\dfrac{-2\pm 6}{2}\), то есть \(v=2\) и \(v=-4\).
  • 3\((v+4)(v-2)\ge 0\) - парабола ветвями вверх, поэтому вне корней: \(v\le -4\) или \(v\ge 2\).
Domain\((-\infty,-4]\cup[2,\infty)\)

Question #2

Evaluate each limit algebraically

Схема: сначала подставляем. Если число - готово. Если \(0/0\) - факторим / рационализируем. Если \(\infty/\infty\) - делим на старшую степень. Если знаменатель \(0\), а числитель нет - смотрим знаки слева и справа: может быть \(\pm\infty\) или DNE.

(a) \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-25}{x^2-4x-5}\)

  • 1Подстановка: \(\dfrac{0-25}{0-0-5}=\dfrac{-25}{-5}=5\). Неопределённости нет.
Answer\(5\)

(b) \(\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{x^2-25}{x^2-4x-5}\)

  • 1\(\dfrac{25-25}{25-20-5}=\dfrac{0}{0}\). Сокращаем.
  • 2\(\dfrac{(x-5)(x+5)}{(x-5)(x+1)}=\dfrac{x+5}{x+1}\) при \(x\ne 5\).
  • 3\(\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\).
Answer\(\dfrac{5}{3}\)

(c) \(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{7x^2-4x-3}{3x^2-4x+1}\)

  • 1Снова \(0/0\). Корни числителя: \(x=1\) и \(x=-\dfrac{3}{7}\), знаменателя: \(x=1\) и \(x=\dfrac13\).
  • 2\(\dfrac{(7x+3)(x-1)}{(3x-1)(x-1)}=\dfrac{7x+3}{3x-1}\).
  • 3При \(x=1\): \(\dfrac{10}{2}=5\). Численно при \(x=1.0001\) получается \(\approx 4.9996\).
Answer\(5\)

(d) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^4+5x^3+6x^2}{x^2(x+1)-4(x+1)}\)

  • 1Знаменатель: \((x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2)\). Числитель: \(x^2(x+2)(x+3)\).
  • 2После сокращения \(x+2\): \(\dfrac{x^2(x+3)}{(x+1)(x-2)}\sim\dfrac{x^3}{x^2}=x\to-\infty\).
  • 3Проверка: \(x=-10^6\) даёт \(\approx -999996\), уходит в \(-\infty\).
Answer\(-\infty\)

(e) \(\lim\limits_{x\to-3}|x+1|+\dfrac{3}{x}\)

  • 1Непрерывна в \(-3\): \(|-2|+\dfrac{3}{-3}=2-1=1\).
Answer\(1\)

(f) \(\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x^2-9}\)

  • 1\(0/0\). Умножаем на сопряжённое \(\sqrt{x+1}+2\).
  • 2Числитель: \(x+1-4=x-3\). Знаменатель: \((x-3)(x+3)(\sqrt{x+1}+2)\).
  • 3Остаётся \(\dfrac{1}{(x+3)(\sqrt{x+1}+2)}\to\dfrac{1}{6\cdot 4}=\dfrac{1}{24}\).
Answer\(\dfrac{1}{24}\)

(g) \(\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{\sqrt{x^2-7}-3}{x+3}\)

  • 1Подстановка законна: \(\dfrac{\sqrt{18}-3}{8}=\dfrac{3\sqrt{2}-3}{8}=\dfrac{3(\sqrt{2}-1)}{8}\).
  • 2Это не \(0/0\): \(\sqrt{18}\ne 3\), знаменатель \(8\ne 0\).
Answer\(\dfrac{3(\sqrt{2}-1)}{8}\)

(h) \(\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2+2x-8}{\sqrt{x^2+5}-(x+1)}\)

  • 1\(0/0\). Числитель \((x+4)(x-2)\). Знаменатель рационализируем.
  • 2\((\sqrt{x^2+5})^2-(x+1)^2=x^2+5-(x^2+2x+1)=4-2x=-2(x-2)\).
  • 3Сокращаем \(x-2\): \(\dfrac{(x+4)\big(\sqrt{x^2+5}+x+1\big)}{-2}\).
  • 4\(\dfrac{6\cdot(3+3)}{-2}=-18\). Численно около \(2.0001\) получается \(\approx -18.0008\).
Answer\(-18\)

(i) \(\lim\limits_{y\to 3}\left(\dfrac{2y^2+2y+4}{6y-3}\right)^{1/3}\)

  • 1Знаменатель при \(y=3\): \(18-3=15\ne 0\). Просто подставляем.
  • 2\(\dfrac{18+6+4}{15}=\dfrac{28}{15}\), затем кубический корень.
Answer\(\sqrt[3]{\dfrac{28}{15}}\)

(q) \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^4-10}{4x^4+x}\)

  • 1Делим на \(x^4\): \(\dfrac{1-10/x^4}{4+1/x^3}\to\dfrac{1}{4}\).
Answer\(\dfrac{1}{4}\)

(r) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt[3]{\dfrac{x-3}{5-x}}\)

  • 1Кубический корень обязателен: под обычным корнем выражение \(\to -1<0\).
  • 2\(\dfrac{x(1-3/x)}{x(5/x-1)}\to\dfrac{1}{-1}=-1\), и \(\sqrt[3]{-1}=-1\).
Answer\(-1\)

(s) \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3x^3+x^2-2}{x^2+x-2x^3+1}\)

  • 1Старшие члены \(3x^3\) и \(-2x^3\). Предел \(\dfrac{3}{-2}=-\dfrac{3}{2}\).
Answer\(-\dfrac{3}{2}\)

(t) \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x+5}{2x^2+1}\)

  • 1Степень знаменателя выше. Делим на \(x^2\): \(\dfrac{1/x+5/x^2}{2+1/x^2}\to 0\).
Answer\(0\)

(u) \(\lim\limits_{x\to\infty}\cos\left(\dfrac{x^5+1}{x^4+x^3+100}\right)\)

  • 1Аргумент \(\sim x\to+\infty\). Косинус бесконечно осциллирует между \(-1\) и \(1\), к числу не сходится.
AnswerDNE

(v) \(\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{2x}{x^2-4}\)

  • 1\(\dfrac{4}{0}\), числитель не ноль. \(\dfrac{2x}{(x-2)(x+2)}\).
  • 2Справа знаменатель \(>0\), предел \(+\infty\). Слева знаменатель \(<0\), предел \(-\infty\).
  • 3Двустороннего предела нет.
AnswerDNE

(w) \(\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{3x}{x^2+2x+1}\)

  • 1\(\dfrac{3x}{(x+1)^2}\). Знаменатель всегда \(\ge 0\) и ноль только в \(-1\).
  • 2Числитель около \(-3<0\). С обеих сторон дробь отрицательная и по модулю огромная.
  • 3Поэтому двусторонний предел равен \(-\infty\).
Answer\(-\infty\)

(x) \(\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{x^2-25}{x^2-4x-5}\)

  • 1Сокращение: \(\dfrac{(x-5)(x+5)}{(x-5)(x+1)}=\dfrac{x+5}{x+1}\) при \(x\ne 5\).
  • 2Справа от \(-1\): \(\dfrac{4}{0^+}=+\infty\). Слева: \(\dfrac{4}{0^-}=-\infty\).
AnswerDNE

(y) \(\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{\sqrt{x^2-5}+2}{x-3}\)

  • 1Числитель в \(3\): \(\sqrt{4}+2=4\ne 0\). Знаменатель \(0\).
  • 2Справа \(+\infty\), слева \(-\infty\). Двустороннего предела нет.
AnswerDNE

Question #3

Limits with absolute values

Модуль раскрывается по-разному слева и справа от точки, где внутри ноль. Поэтому почти всегда считаем односторонние пределы отдельно.

(a) \(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{|x-1|}\)

  • 1\(x^2-1=(x-1)(x+1)\).
  • 2Справа \(x>1\): \(|x-1|=x-1\), дробь \(x+1\to 2\).
  • 3Слева \(x<1\): \(|x-1|=1-x=-(x-1)\), дробь \(-(x+1)\to -2\).
  • 4Левый \(\ne\) правый. Численно: \(x=1.001\to 2.001\), \(x=0.999\to -1.999\).
AnswerDNE

(b) \(\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{1}{|x+2|}+x^2\)

  • 1\(|x+2|\to 0^+\), поэтому \(\dfrac{1}{|x+2|}\to+\infty\) с обеих сторон.
  • 2\(x^2\to 4\) ни на что не влияет: \(+\infty+4=+\infty\).
Answer\(+\infty\)

Question #4

Find the Domain and Range

a) \(f(x)=\dfrac{x+3}{\sqrt{x-8}}\)

  • 1Корень в знаменателе: \(x-8>0 \Rightarrow x>8\). Domain: \((8,\infty)\).
  • 2Замена \(t=\sqrt{x-8}>0\), тогда \(x=t^2+8\) и \(f=t+\dfrac{11}{t}\).
  • 3AM–GM: \(t+\dfrac{11}{t}\ge 2\sqrt{11}\), равенство при \(t=\sqrt{11}\) (то есть \(x=19\)).
  • 4Производная это подтверждает: \(f'(x)=0\) только в \(x=19\), минимум \(f(19)=2\sqrt{11}\). При \(x\to 8^+\) и \(x\to\infty\) функция уходит в \(+\infty\).
AnswerDomain \((8,\infty)\), range \([2\sqrt{11},\infty)\)

b) \(g(y)=\sqrt{3y-54}\)

  • 1\(3y-54\ge 0 \Rightarrow y\ge 18\). Domain: \([18,\infty)\).
  • 2Корень выдаёт все числа \(\ge 0\). При \(y=18\) значение \(0\), дальше растёт неограниченно.
AnswerDomain \([18,\infty)\), range \([0,\infty)\)

c) \(y=\dfrac{x+1}{5x+7}\)

  • 1Domain: \(5x+7\ne 0 \Rightarrow x\ne -\dfrac{7}{5}\).
  • 2Выражаем \(x\): \(y(5x+7)=x+1 \Rightarrow x(5y-1)=1-7y \Rightarrow x=\dfrac{1-7y}{5y-1}\).
  • 3\(x\) существует для всех \(y\), кроме \(y=\dfrac15\). Проверка: \(\dfrac{x+1}{5x+7}=\dfrac15\) даёт \(5=7\), противоречие. Горизонтальная асимптота \(y=\frac15\) недостижима.
AnswerDomain \(\mathbb{R}\setminus\{-7/5\}\), range \(\mathbb{R}\setminus\{1/5\}\)

Question #5

Find \(a\) and \(b\)

\(f(x)=4^{ax+b}\), дано \(f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac14\sqrt[4]{4}\) и \(f\left(\dfrac12\right)=\dfrac12\sqrt{2}\)

  • 1Сначала упрощаем значения. \(\sqrt[4]{4}=4^{1/4}\), поэтому \(\dfrac14\sqrt[4]{4}=4^{-1}\cdot 4^{1/4}=4^{-3/4}\).
  • 2\(\dfrac12\sqrt{2}=2^{-1}\cdot 2^{1/2}=2^{-1/2}=4^{-1/4}\), потому что \(4^{-1/4}=(2^2)^{-1/4}=2^{-1/2}\).
  • 3Показатели при основании \(4\) сравниваем: \(\dfrac{2}{3}a+b=-\dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac12 a+b=-\dfrac14\).
  • 4Вычитаем: \(\left(\dfrac23-\dfrac12\right)a=-\dfrac12 \Rightarrow \dfrac{a}{6}=-\dfrac12 \Rightarrow a=-3\).
  • 5Тогда \(b=-\dfrac14-\dfrac12(-3)=-\dfrac14+\dfrac32=\dfrac54\).
  • 6Проверка: \(f(2/3)=4^{-2+5/4}=4^{-3/4}\), \(f(1/2)=4^{-3/2+5/4}=4^{-1/4}\). Оба условия выполнены, \(a,b\ne 0\).
Answer\(a=-3,\quad b=\dfrac{5}{4}\)

Question #6

Read the graph

По скану: вертикальные асимптоты \(x=-1\) и \(x=2\), горизонтальная \(y=0\). Слева ветка над осью \(x\) (к \(+\infty\) у \(x=-1^-\)), в середине целиком под осью (к \(-\infty\) у обеих вертикалей), справа снова над осью (от \(+\infty\) у \(x=2^+\) к \(0\)). Это форма \(f(x)=\dfrac{c}{(x+1)(x-2)}\) при \(c>0\). Ниже нарисована модель с \(c=1\).

график \(f\) вертикальные асимптоты горизонтальная асимптота \(y=0\)

(a) \(f(0)\)

  • 1\(x=0\) между асимптотами, функция определена и отрицательна.
  • 2На модели \(c=1\): \(f(0)=\dfrac{1}{1\cdot(-2)}=-\dfrac12\). На бланке сними то же самое с оси \(y\).
Answer\(-\dfrac12\) на модели \(c=1\); это конечное отрицательное число

(b) \(f(2)\)

  • 1\(x=2\) - вертикальная асимптота, точки графика нет.
AnswerDNE

(c) \(f(3)\)

  • 1Правее \(x=2\) ветка положительная и уже спускается к оси.
  • 2На модели: \(f(3)=\dfrac{1}{4\cdot 1}=\dfrac14\).
Answer\(\dfrac14\) на модели \(c=1\)

(d) \(\lim\limits_{x\to -1}f(x)\)

  • 1Слева \(+\infty\), справа \(-\infty\). Двустороннего предела нет.
AnswerDNE

(e) \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)\)

  • 1В нуле функция непрерывна (нет асимптоты и дырки), предел равен \(f(0)\).
Answer\(f(0)=-\dfrac12\) на модели

(f) \(\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)\)

  • 1Правая ветка стартует от вертикали сверху: \(+\infty\).
Answer\(+\infty\)

(g) \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\)

  • 1Горизонтальная асимптота \(y=0\), подходим сверху.
Answer\(0\)

Bonus

Formal definition, only two required - сделал (a) и (b), плюс (d)

Для последовательности \(\lim a_n=L\) значит: \(\forall\varepsilon>0\) найдётся \(N\) такое, что из \(n>N\) следует \(|a_n-L|<\varepsilon\). Если предел \(0\), пишем просто \(|a_n|<\varepsilon\).

(a) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n^2}{n^2+1}=3\)

  • 1Оценка: \(\left|\dfrac{3n^2}{n^2+1}-3\right|=\left|\dfrac{3n^2-3n^2-3}{n^2+1}\right|=\dfrac{3}{n^2+1}\).
  • 2\(n^2+1>n^2\), поэтому \(\dfrac{3}{n^2+1}<\dfrac{3}{n^2}\).
  • 3Хотим \(\dfrac{3}{n^2}<\varepsilon \Leftrightarrow n>\sqrt{3/\varepsilon}\). Берём \(N=\sqrt{3/\varepsilon}\).
  • 4Тогда при \(n>N\) имеем \(\dfrac{3}{n^2+1}<\dfrac{3}{n^2}<\varepsilon\). По определению предел равен \(3\).
Answerпредел \(3\), доказан через \(\varepsilon\)-\(N\)

(b) \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac13\right)^n=0\) · hint: logs

  • 1Нужно \(\left(\dfrac13\right)^n<\varepsilon\).
  • 2Если \(\varepsilon\ge 1\), достаточно \(N=1\): уже \(\le 1/3<1\le\varepsilon\).
  • 3Если \(0<\varepsilon<1\), логарифмируем: \(n\ln\dfrac13<\ln\varepsilon\). Делим на отрицательное \(\ln(1/3)\), знак меняется: \(n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln(1/3)}=\dfrac{\ln(1/\varepsilon)}{\ln 3}\).
  • 4Берём \(N=\dfrac{\ln(1/\varepsilon)}{\ln 3}\). Тогда \(n>N\) даёт \((1/3)^n<\varepsilon\).
Answerпредел \(0\), \(N=\log_3(1/\varepsilon)\)

(c) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{1+(-1)^n}+7\)

  • 1При чётном \(n\): \(\dfrac{1}{2}+7=\dfrac{15}{2}\).
  • 2При нечётном \(n\): знаменатель \(1-1=0\), член не определён.
  • 3Последовательность задана не для всех \(n\), предела нет.
AnswerDNE

(d) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n^2+1}=0\)

  • 1\(|\sin n|\le 1\), поэтому \(\left|\dfrac{\sin n}{n^2+1}\right|\le\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}\).
  • 2Берём \(N=1/\sqrt{\varepsilon}\). Тогда \(n>N\) даёт \(1/n^2<\varepsilon\).
  • 3\(\sin n\) сам по себе предела не имеет, но его «давит» знаменатель - классический squeeze.
Answerпредел \(0\), доказан через \(\varepsilon\)-\(N\)

Шпаргалка

только финальные ответы, после тройной проверки
Q1 \(1.\,(-\infty,\infty)\quad 2.\,(-\infty,\infty)\quad 3.\,[4,\infty)\quad 4.\,(-\infty,3]\quad 5.\,(-\infty,-2)\cup(-2,\infty)\quad 6.\,(-\infty,1)\cup(1,\infty)\quad 7.\,(-\infty,\infty)\quad 8.\,(-3,\infty)\quad 9.\,(-\infty,-4]\cup[2,\infty)\)
Q2 a \(5\) · b \(5/3\) · c \(5\) · d \(-\infty\) · e \(1\) · f \(1/24\) · g \(3(\sqrt{2}-1)/8\) · h \(-18\) · i \(\sqrt[3]{28/15}\) · q \(1/4\) · r \(-1\) · s \(-3/2\) · t \(0\) · u DNE · v DNE · w \(-\infty\) · x DNE · y DNE
Q3 a DNE · b \(+\infty\)
Q4 a D\((8,\infty)\), R\([2\sqrt{11},\infty)\) · b D\([18,\infty)\), R\([0,\infty)\) · c D \(\mathbb{R}\setminus\{-7/5\}\), R \(\mathbb{R}\setminus\{1/5\}\)
Q5 \(a=-3\), \(b=5/4\)
Q6 a \(-\frac12\) (модель) · b DNE · c \(\frac14\) (модель) · d DNE · e \(-\frac12\) · f \(+\infty\) · g \(0\)
Bonus a \(3\) · b \(0\) · c DNE · d \(0\)